私が所有する土地・家屋をAさんに売却する売買契約を今年の1月10日に結び、所有権移転登記も済ませました。この場合、今年度の固定資産税はどちらが納めることになりますか？

今年度の固定資産税は、あなたが納税義務者になります。
固定資産税は、毎年1月1日（賦課期日）現在に所有している人に課税されます。4月にすでにAさんの所有だとしても納税通知書は納税義務者であるあなたに届きます。
なお、不動産の売買契約が行われる際に、固定資産税の一部を買主が負担するという契約がなされる場合もあるようですが、市役所から新しい所有者であるAさんに納税通知書を送付することはできませんのでご了承ください。